特殊系统的附加分析方法
检查解
正如上面所提到的,找到系统的解的公式可能很困难甚至是不可能的。然而,一旦我们得到了这些公式,检查它们是否确实是解就相对简单。这一观察非常重要,原因有二。首先,我们可以重新检查我们在计算公式时可能做的复杂代数。其次,更重要的是,许多“解题技巧”实际上只是复杂的猜测方法。一旦我们做出猜测,我们就需要测试以确认我们的猜测是否真的成立。
例 1
考虑系统
d x d t = − x + y \frac{dx}{dt} = -x + y dtdx=−x+y
d y d t = − 3 x − 5 y . \frac{dy}{dt} = -3x - 5y. dtdy=−3x−5y.
我们可以将这个系统用向量记法重写为
d Y d t = F ( Y ) , \frac{dY}{dt} = F(Y), dtdY=F(Y),
其中 Y ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) Y(t) = (x(t), y(t)) Y(t)=(x(t),y(t)) 和 F ( x , y ) = ( − x + y , − 3 x − 5 y ) F(x, y) = (-x + y, -3x - 5y) F(x,y)=(−x+y,−3x−5y)。现在,验证
Y ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( e − 4 t − 3 e − 2 t , − 3 e − 4 t + 3 e − 2 t ) Y(t) = (x(t), y(t)) = (e^{-4t} - 3e^{-2t}, -3e^{-4t} + 3e^{-2t}) Y(t)=(x(t),y(t))=(e−4t−3e−2t,−3e−4t+3e−2t)
是否为这个系统的解。
一方面,计算 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 的导数,得
d x d t = d ( e − 4 t − 3 e − 2 t ) d t = − 4 e − 4 t + 6 e − 2 t \frac{dx}{dt} = \frac{d(e^{-4t} - 3e^{-2t})}{dt} = -4e^{-4t} + 6e^{-2t} dtdx=dtd(e−4t−3e−2t)=−4e−4t+6e−2t
d y d t = d ( − 3 e − 4 t + 3 e − 2 t ) d t = 12 e − 4 t − 6 e − 2 t . \frac{dy}{dt} = \frac{d(-3e^{-4t} + 3e^{-2t})}{dt} = 12e^{-4t} - 6e^{-2t}. dtdy=dtd(−3e−4t+3e−2t)=12e−4t−6e−2t.
另一方面,将 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 代入系统的右侧,得
− x + y = − ( e − 4 t − 3 e − 2 t ) + ( − 3 e − 4 t + 3 e − 2 t ) = − 4 e − 4 t + 6 e − 2 t -x + y = -(e^{-4t} - 3e^{-2t}) + (-3e^{-4t} + 3e^{-2t}) = -4e^{-4t} + 6e^{-2t} −x+y=−(e−4t−3e−2t)+(−3e−4t+3e−2t)=−4e−4t+6e−2t
− 3 x − 5 y = − 3 ( e − 4 t − 3 e − 2 t ) − 5 ( − 3 e − 4 t + 3 e − 2 t ) = 12 e − 4 t − 6 e − 2 t . -3x - 5y = -3(e^{-4t} - 3e^{-2t}) - 5(-3e^{-4t} + 3e^{-2t}) = 12e^{-4t} - 6e^{-2t}. −3x−5y=−3(e−4t−3e−2t)−5(−3e−4t</