特殊系统的附加分析方法

检查解

正如上面所提到的，找到系统的解的公式可能很困难甚至是不可能的。然而，一旦我们得到了这些公式，检查它们是否确实是解就相对简单。这一观察非常重要，原因有二。首先，我们可以重新检查我们在计算公式时可能做的复杂代数。其次，更重要的是，许多“解题技巧”实际上只是复杂的猜测方法。一旦我们做出猜测，我们就需要测试以确认我们的猜测是否真的成立。

例 1

考虑系统
$$\frac{dx}{dt}=-x+y$$
$$\frac{dy}{dt}=-3x-5y.$$

我们可以将这个系统用向量记法重写为

$$\frac{dY}{dt}=F(Y),$$

其中 $Y(t)=(x(t),y(t))$ 和 $F(x,y)=(-x+y,-3x-5y)$。现在，验证

$$Y(t)=(x(t),y(t))=(e^{-4t}-3e^{-2t},-3e^{-4t}+3e^{-2t})$$

是否为这个系统的解。

一方面，计算 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的导数，得

$$\frac{dx}{dt}=\frac{d(e^{-4t}-3e^{-2t})}{dt}=-4e^{-4t}+6e^{-2t}$$

$$\frac{dy}{dt}=\frac{d(-3e^{-4t}+3e^{-2t})}{dt}=12e^{-4t}-6e^{-2t}.$$

另一方面，将 $x(t)$ 和 $y(t)$ 代入系统的右侧，得

$$-x+y=-(e^{-4t}-3e^{-2t})+(-3e^{-4t}+3e^{-2t})=-4e^{-4t}+6e^{-2t}$$

− 3 x − 5 y = − 3 ( e − 4 t − 3 e − 2 t ) − 5 ( − 3 e − 4 t + 3 e − 2 t ) = 12 e − 4 t − 6 e − 2 t . -3x - 5y = -3(e^{-4t} - 3e^{-2t}) - 5(-3e^{-4t} + 3e^{-2t}) = 12e^{-4t} - 6e^{-2t}. −3x−5y=−3(e−4t−3e−2t)−5(−3e−4t</